Les mathématiques

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Vash
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Les mathématiques

Messagepar Vash » sam. 6 janv. 2018 13:25

Comme certains le savent déjà, j'enseigne les maths dans l'enseignement secondaire.
Ce topic n'est pas fait pour essayer de réconcilier certains avec les maths, je n'ai ni la volonté, ni la prétention de vouloir bousculer ceux qui sont ravis d'en avoir fini avec les maths depuis qu'ils ont terminé leurs études.
J'avais juste envie de créer un topic qui va parler de choses amusantes, curieuses, époustouflantes etc. mais en rapport avec les maths.

Et je commence avec le nombre Pi, qui sert à calculer entre autre, le périmètre d'un cercle, l'aire d'un disque ou d'une sphère, le volume d'une boule, mais qui apparaît aussi bizarrement dans le calcul de certaines lois de probabilités...
http://www.angio.net/pi/bigpi.cgi
Voici un site qui permet de savoir à quelle place se situe votre date de naissance par exemple parmi les décimales du nombre irrationnel Pi, ou autrement à partir d'une position que vous donnez, renvoie les 10, 25, 50... décimales après cette position.
Pour moi, le 28/01/1988 se trouve à la 17 740 988e décimale.

J'ai trouvé cela sur ce site

Sur Wiki également, il y a un article complet qui reprend des parties de celui du site.

Même si les Maths sont insolubles pour certaines (pour ne pas dire beaucoup de) personnes, on peut néanmoins s'y intéresser un tant soit peu avec des propriétés inattendues.
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Re: Les mathématiques

Messagepar Nanami » sam. 6 janv. 2018 15:51

The string 1121982 occurs at position 28,849,836 counting from the first digit after the decimal point. The 3. is not counted.

Ahah

J'ai mis 1/12/1982 et pas 01 car avec 01 ça trouve pas.

Merci pour ce topic Vash, bonne idée je trouve ! :)

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Re: Les mathématiques

Messagepar Vash » sam. 6 janv. 2018 16:10

http://www.topito.com/top-gifs-comprendre-maths-la-vache-cest-velu
Des gifs sur les théorèmes populaires de géométrie ou d'autres choses d'analyse.

http://www.kangmath.org/swf/pythagore.html
Une démonstration du théorème de Pythagore

http://www.kangmath.org/swf/archimede.html
Une démonstration de l'aire d'un disque selon Archimède

http://www.kangmath.org/swf/thales.html
Une démonstration du théorème de Thalès selon Euclide

Et enfin une équation, qui arrive un peu tard mais bon...
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Re: Les mathématiques

Messagepar Vash » sam. 13 janv. 2018 11:43

LES COULEURS

Il existe de nombreuses manières de quantifier une couleur, de la résumer en quelques chiffres.
Si vous vous rappelez de vos cours de physique-chimie du lycée, le spectre de la lumière blanche peut être décomposé à l'aide d'un prisme et on peut y voir toutes les couleurs existantes dans ce qu'on appelle communément un arc-en-ciel.
Tout est une question de longueur d'onde, la lumière visible étant échelonnée entre 400 et 800 nanomètres environ, du violet au rouge ; en dessous de 390 nm nous avons les ultraviolets et au-dessus de 780 nm ce sont les infrarouges.
Pour les différents modes que l'on va voir, on parle donc de synthèse additive, qui concerne la lumière, contrairement à la synthèse soustractive qui intervient en peinture notamment dont je vais parler brièvement ci-desous.

Histoire de parler un peu de la soustractive, la méthode la plus connue est la quadrichromie CMJN pour Cyan-Magenta-Jaune-Noir ou CMYK (cyan, magenta, yellow, key).
Ça ne vous dit peut-être rien mais ça va vous faire tiquer si je parle des emballages des produits que vous achetez au quotidien. En effet, vous pouvez y voir des petites pastilles de couleurs qui vous indiquent quelles couleurs ont été utilisées pour réaliser l'emballage. Dans la majorité des cas, il y a juste 4 pastilles : 1 cyan, 1 magenta, 1 jaune et 1 noire. Les trois premières sont ce qu'on appelle les couleurs primaires et non pas rouge, bleu et jaune comme on pourrait le penser. En mélangeant du magenta avec du jaune on obtient du rouge, du jaune + du cyan on obtient du vert, du cyan + du magenta on obtient du bleu : rouge, vert et bleu sont alors les couleurs secondaires c'est à dire les couleurs que l'on obtient en mélangeant 2 des 3 couleurs primaires. Et si on mélange les 3 couleurs primaires on obtient une mélasse qui ressemble à du noir.
Si je suis aussi approximatif sur cette dernière phrase, c'est parce que la quadrichromie, bien que pouvant reproduire presque n'importe quelle couleur en dosant les couleurs primaires n'est pas très efficace pour des couleurs vives.

C'est pour ça qu'on passe maintenant à la synthèse additive.
Ici, c'est tout le contraire, les couleurs primaires sont le rouge, le vert, le bleu et les couleurs secondaires sont le cyan (vert+bleu), le magenta (bleu + rouge), le jaune (rouge + vert) et si vous mélangez les trois couleurs primaires vous obtenez le blanc.
Ce petit speech peut vous paraître inutile mais ça permet de fixer certaines idées pour la suite qui vous permettront de retenir facilement.


Tout d'abord, le code RVB (rouge, vert, bleu) ou RGB (red, green, blue), retenir l'ordre des couleurs est important.
Si comme moi vous avez tendance à retenir les pubs, il y a eu une période où commençait la mise en vente des appareils photos numériques et où on disait "l'appareil machin avec 16 millions de couleurs".
Alors, d'où sort ce 16 millions ? Vous vous doutez bien qu'ils n'ont pas mis des stagiaires sur le coup pour compter les couleurs une par une (quoique...).
Plus précisément, c'est 16 777 216 couleurs ce qui correspond à 2^24. Pour l'explication, ça sera plus simple quand on abordera le code hexadécimal donc pour le moment je reviens au code RVB.

Chacune de ses 2^24 couleurs est définie par une proportion de rouge, une proportion de vert et une proportion de bleu.
Si vous pensez au logiciel Paint, vous avez une palette de couleurs déjà définie mais vous pouvez sélectionner celle que vous voulez en définissant plusieurs critères : rouge, vert, bleu, teinte, saturation, lumière.
Pour les 3 derniers critères, c'est une autre chose que je ne maîtrise pas assez pour vous en parler et que l'on appelle TSL (teinte, saturation, lumière).
Pour les cases rouge, vert, bleu, vous pouvez mettre une valeur entre 0 et 255, soit 256 possibilités (256 = 2^8 ).
Exemple : le code RVB du rouge est "255, 0, 0", celui du cyan est "0, 255, 255" (mélange du vert et du bleu).
Là par contre, je ne vais pas vous faire l'affront de vous rappeler de vos cours de maths en probabilités et plus précisément en dénombrement mais si vous avez 256 possibilités pour le rouge, idem pour le vert et pour le bleu, vous avez alors 256^3 = (2^8 )^3 = 2^(8×3) = 2^24 possibilités de couleurs, on retrouve le nombre dit plus haut mais pour les hermétiques aux maths, ça sera plus simple avec l'hexadécimal que l'on va voir maintenant.


L'hexadécimal, késaco ? C'est la façon de compter pour ceux qui ont 16 doigts au lieu de 10.
Je plaisante bien sûr. Notre base de calcul dans le monde est universelle (du moins dans le monde civilisé et actuel) : nous avons 10 chiffres qui définissent ce qu'on appelle une base, la base décimale, de 0 à 9 permettant de quantifier un nombre de manière unique en donnant le nombre d'unités, le nombre de dizaines, de centaines, de milliers etc. Tout cela vient du fait que nous avons 10 doigts, compter remonte à la Préhistoire si je ne m'abuse et comme c'était pas des flèches à l'époque, ils sont allés à l'essentiel :D
Exemple : 1234 = 4 + 30 + 200 + 1000 = 4×1 + 3×10 + 2×100 + 1×1 000 ; 4 est le chiffre des unités, 3 celui des dizaines, 2 celui des centaines et 1 le chiffre des milliers.
Avec les puissances de 10, on peut écrire 1234 sous la forme :
1234 = 4×10^0 + 3×10^1 + 2×10^2 + 1×10^3 (tout nombre à la puissance zéro est égal à 1)
Si on part du chiffre des unités, on va multiplier les chiffres qui caractérisent le nombre (ceux des unités, dizaines, milliers, dizaines de milliers, centaines de milliers, millions etc.) par des puissances de 10 croissantes.
Exemple plus théorique : vous avez un nombre abc en base décimale où a est le chiffre des centaines, b celui des dizaines et c celui des unités.
abc = c×10^0 + b×10^1 + a×10^2 (en partant du dernier chiffre, celui des unités, on augmente de 1 la puissance de 10 en partant de 0) Pour revenir à des nombres plus primaires, on peut écrire abc = c×1 + b×10 + a×100.


Maintenant, on va mêler l'informatique aux maths pour essayer d'arriver à quelque chose que vous côtoyez plus souvent.
On va commencer par la base de tout : le code binaire. C'est la manière de compter avec deux chiffres : 0 et 1 autrement une base 2. En décimal, on a 0, 1, 2, 3... En binaire, on a 00, 01, 10, 11.
Ça peut paraître compliqué mais c'est la même chose que de poser une retenue quand on fait une addition.
En décimal quand on fait 5 + 5 ça nous donne 0 et en ajoutant la retenue devant le 0, on obtient 10.
En binaire, c'est pareil, quand on fait 1 + 1, ça donne 10 (prononcer "un, zéro" pour le distinguer d'avec dix qui ne se dit qu'en base décimale).
Si vous voulez convertir un nombre de la base décimale à la base binaire, vous devez effectuer ce qu'on apprend depuis le cours primaire : la division euclidienne.
Pour ceux qui ne se rappelle plus, c'est quand on divise un nombre entier (le dividende) par un autre nombre entier (le diviseur) et on obtient de manière unique un quotient et un reste.
Exemple : Division euclidienne de 89 par 7 : 89 = 7×12 + 5.
Je vous passe les conditions sur le quotient, le reste, les notions de stathme euclidien, d'anneau euclidien, ça c'est du programme universitaire donc aucun intérêt pour vous.
Justement, reprenons l'exemple de 89 qui est en base décimale, en base 10 donc.
Pour connaître sa valeur en base binaire, en base 2, il faut faire des divisions euclidiennes successives par 2 en prenant le quotient comme nouveau dividende jusqu'à obtenir 0 comme quotient.
89 = 2×44 + 1
44 = 2×22 + 0
22 = 2×11 + 0
11 = 2×5 + 1
5 = 2×2 + 1
2 = 2×1 + 0
1 = 2×0 + 1
Maintenant, pour savoir combien vaut 89 en base 2, il faut écrire tous les restes en partant de la fin : 1011001.
Réciproquement, si vous avez un nombre binaire, comment savoir ce qu'il vaut en base 10 ?
Reprenons le même exemple : on part de 1011001.
On va procéder de la même manière que l'on a décomposé 1234 sauf qu'au lieu d'avoir des puissances de 10 vu qu'on était en base 10, on va avoir des puissances de 2 car on est en base 2.
Donc en base décimale :
1011001 = 1×2^0 + 0×2^1 + 0×2^2 + 1×2^3 + 1×2^4 + 0×2^5 + 1×2^6
1011001 = 2^0 + 0 + 0 + 2^3 + 2^4 + 0 + 2^6
1011001 = 1 + 8 + 16 + 64
1011001 = 89
On obtient bien que 1011001 en base 2 est égal à 89 en base 10.


On arrive enfin à l'hexadécimal : la base 16.
On a donc 16 chiffres dans cette base : 0 à 9 puis A à F (une astuce d'écriture car 10 à 15 n'aurait pas de sens en base 16, en effet pour 10 par exemple on ne saurait pas s'il faudrait lire "dix" ou "un, zéro" d'où l'importance de bien dire les choses si on n'est pas en base décimale et donc le recours aux lettres de A à F).
Et là, vous commencez à comprendre la signification des #00AAFF dans les balises color du BBcode, le pourquoi du mélange entre les chiffres de 0 à 9 et des lettres de A à F.
C'est maintenant qu'on va se servir de tout ce qu'on a vu jusqu'à présent pour tout décrypter.
Le code hexadécimal d'une couleur est composé d'un dièse # suivi de 6 chiffres. Le premier étant #000000 qui correspond au noir et le dernier étant #FFFFFF, le blanc donc le nombre total de couleurs est :
FFFFFF + 1 = 15×(16^0 + 16^1 + 16^2 + 16^3 + 16^4 + 16^5) + 1
FFFFFF + 1 = 15×(1 + 16 + 256 + 4 096 + 65 536 + 1 048 576) + 1
FFFFFF + 1 = ...
Ça, c'est si vous convertissez directement chacun des nombres mais si vous avez compris le truc de l'addition et des retenues, vous savez que F + 1 = 10 en hexadécimal, donc FFFFFF + 1 = 1000000 d'où en décimal 1×16^6 = 16^6 = (2^4)^6 = 2^(4×6) = 2^24 = 16 777 216 (encore le nombre trouvé plus haut mais là pas besoin de probabilités pour le trouver).


Enfin pour terminer, revenons à l'ordre des couleurs qui va vous aider à comprendre la conversion de RVB à hexadécimal et inversement.
Quand vous avez #xxxxxx, les deux premiers chiffres correspondent à la proportion de rouge, les deux suivants celle de vert et les deux derniers celle de bleu.
Ainsi #FF0000 est le rouge, #00FF00 est le vert, #0000FF est le bleu (FF étant égal à 255 en décimal)
C'est là qu'on voit bien que le blanc est la somme des 3 couleurs primaires : FFFFFF = FF0000+00FF00+0000FF
Idem pour les couleurs secondaires : cyan = vert+bleu = #00FFFF, magenta = bleu+ rouge = #FF00FF, jaune = rouge +vert = #FFFF00.


Je suis conscient que tout ce que j'ai écrit est très long mais j'espère vous avoir appris des choses de manière plaisante et claire.
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Re: Les mathématiques

Messagepar Vash » jeu. 8 févr. 2018 18:30

Votre numéro de sécurité sociale est composé de 15 chiffres.
le premier : 1 si vous êtes un garçon, 2 si vous êtes une fille
les 2e et 3e : les deux derniers chiffres de votre année de naissance
les 4e et 5e : votre mois de naissance
les 6e et 7e : votre département de naissance
les 8e, 9e et 10e : le numéro de votre commune de naissance
les 11e, 12e et 13e : votre numéro de naissance dans votre commune de naissance, le mois de votre naissance.

Les deux derniers chiffres est une clé comprise entre 01 et 97.
Cette clé n'est pas arbitraire puisque c'est le résultat de la soustraction de 97 et du reste de la division euclidienne du nombre formé par les 13 premiers chiffres de votre numéro de sécurité sociale par le nombre 97.
Autrement dit, si A est le nombre composé des 13 chiffres et r le reste de la division de A par 97, alors votre clé de contrôle est 97 - r.
Pensez-y si vous devez créer de fausses cartes vitales un jour
;)
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Re: Les mathématiques

Messagepar Vash » lun. 12 févr. 2018 18:56

Aujourd'hui, un peu d'histoire, un peu de maths donc de l'histoire des maths sur les calendriers et entre autre des années bissextiles.


Selon Wikipedia : "L'année tropique, ou année équinoxiale, est définie comme l'intervalle de temps, sur Terre, pour que le Soleil retourne à la même position dans le cycle des saisons.
Sa durée varie, en 2000, elle était de 365 jours 5 heures 48 minutes 45,25 secondes."


À la calculatrice, on trouve comme valeur approchée 365,24219039351851851851851851852 que je vais arrondir à 365,2422 jours pour la suite.

Notre calendrier actuel est le calendrier grégorien qui succède au calendrier julien, qui succédait lui-même au calendrier romain (j'occulte le calendrier républicain qui a été instauré de 1792 à 1806).

Je vais passer sur les modalités des calendriers romain et julien qui faisaient que le calendrier était différent chaque année suivant les lunaisons ou autres raisons et également le fait qu'ils ne savaient pas encore que c'était la Terre qui tournait autour du Soleil et non l'inverse d'où des points de vues différents par rapport à aujourd'hui.

Bref, pour le calendrier julien, ils avaient instauré un calendrier comportant 365 jours par an en ajoutant un jour tous les 4 ans, autrement dit une année bissextile par cycle de 4 ans.
Ce qui donne, pour un cycle de 4 ans : 365, 365, 365 puis 366 jours.
En faisant la somme, puis en divisant par quatre, on obtenait une moyenne de 365,25 jours par an.

Mais, l'année tropique étant de 365,2422 jours par an, le calendrier julien commettait une erreur de 0,0078 jour par an.
Ça ne paraît rien comme ça, mais si on multiplie par cent, on obtient une erreur de 0,78 jour par siècle ou encore 7,8 jours par millénaire en multipliant encore par dix.
Le calendrier a été utilisé jusqu'en 1582, année où le pape Grégoire XIII a instauré le calendrier grégorien, soit une erreur de 9,8 jours depuis le Concile de Nicée en 325.
Ainsi, cette erreur a été rattrapée en 1582 : le lendemain du jeudi 4 octobre a été le vendredi 15 octobre.

Maintenant la question : en quoi consiste la réforme du calendrier grégorien ? Et bien, en la redéfinition d'une année bissextile.
Une année bissextile n'est plus une année divisible par 4 comme pour le calendrier julien.
Désormais, une année bissextile est :
- soit une année divisible par 4 mais non divisible par 100 ;
- soit une année divisible par 400.
Ainsi, depuis le concile de Nicée en 325, les années bissextiles à tort ont été les années 500, 600, 700, 900, 1000, 1100, 1300, 1400, 1500 donc 9 années pour 9 jours donnés en trop.

Cette redéfinition de l'année bissextile ajuste la moyenne du nombre de jours par an par rapport à l'année tropique.
Au lieu d'avoir un cycle de 4 ans, on a un cycle de 400 ans pendant lequel, au lieu d'avoir 100 années bissextiles, on aura 3 années bissextiles en moins soit 97 années de 366 jours et 303 années de 365 jours.
En effectuant la moyenne, on obtient 365,2425 jours par an, soit une erreur par rapport à l'année tropique de 0,0003 jour par an.
Autrement dit, une erreur de 3 jours tous les 10 millénaires pour le calendrier grégorien, alors qu'avec le calendrier julien, on en serait, si vous suivez bien, à 78 jours de décalage donc plus de 2 mois et demi.
Ce qui voudrait dire qu'avec le calendrier julien, en l'an 10315, pour rattraper le retard, Noël serait le lendemain du 7 octobre. Avec le calendrier grégorien, Noël sera le lendemain du 24, au lieu d'être le lendemain du 21 décembre à cause de l'erreur, ce qui est assez négligeable pour une durée de 10 000 ans.

Mais bon, de toute façon, la race humaine sera peut-être déjà éteinte vu toutes les conneries qu'on fait et comment on traite notre planète donc pas besoin d'affiner encore plus notre calendrier.
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Re: Les mathématiques

Messagepar Vash » jeu. 22 févr. 2018 18:15

message à supprimer
Modifié en dernier par Vash le jeu. 12 avr. 2018 20:05, modifié 1 fois.
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Re: Les mathématiques

Messagepar Vash » mer. 14 mars 2018 19:47

Nous sommes le 14/3 ou 3/14 dans les pays anglophones.
Bonne journée de Pi à toutes et à tous.
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Re: Les mathématiques

Messagepar Nanami » ven. 23 mars 2018 15:13

Mdr bonne journée de Pi Vash xD

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Re: Les mathématiques

Messagepar Nanami » mar. 10 avr. 2018 19:04

Vash, t'as déjà vu le film "le nombre 23" ? Comme quoi des fois les maths et un cerveau un peu superstitieux, ça peut mener à la parano complète xD.